જો અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના કોઈપણ બિંદુથી તેના અનંતસ્પર્શકો (asymptotes) સુધીના લંબ અંતરનો ગુણાકાર $6$ હોય અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{3}$ હોય,તો અતિવલયની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ શોધો.

શરત કે જે મુજબ સીધી રેખા $lx + my = n$ એ અતિવલય $b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2$ નો અભિલંબ હોય,તે નીચેનામાંથી કઈ છે?

ધારો કે $P (3 \sec \theta, 2 \tan \theta)$ અને $Q (3 \sec \phi, 2 \tan \phi)$ જ્યાં $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$,એ અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ પરના બે ભિન્ન બિંદુઓ છે. તો $P$ અને $Q$ આગળના અભિલંબના છેદબિંદુનો $y$-યામ (ordinate) શોધો.

એક બિંદુનો બિંદુપથ શોધો જેની સ્પર્શક જીવા અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ના સાપેક્ષમાં,અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ના નાભિઓને જોડતી રેખાને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરેલા વર્તુળને સ્પર્શે છે.

$x^{2} - y^{2} - 4x + 4y + 16 = 0$ દ્વારા દર્શાવતા શાંકવની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ધારો કે $PQ$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની જીવા છે,જે $x$-અક્ષને લંબ છે જેથી $OPQ$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ બને,જ્યાં $O$ એ અતિવલયનું કેન્દ્ર છે. જો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $\sqrt{3}$ હોય,તો ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો: